Степени и корни

Как считаются степени и корни

Возведение в степень — это многократное умножение: запись aⁿ означает, что число a умножили само на себя n раз, например 2⁵ = 2·2·2·2·2 = 32. Корень n-й степени — обратное действие: он ищет число, которое в степени n даёт исходное. Калькулятор считает оба действия, включая дробные и отрицательные показатели.

Основные свойства степеней:

• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
• При делении показатели вычитаются: aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
• Степень степени — это перемножение показателей: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ
• Отрицательный показатель переворачивает число: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ
• Дробный показатель означает корень: a^(1/n) = ⁿ√a
• Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице: a⁰ = 1

Проверим свойства на числах. Целые показатели: 2¹⁰ = 1024, 3⁴ = 81, 5³ = 125. Отрицательный показатель: 4⁻² = 1/4² = 1/16 = 0,0625. Дробный: 8^(1/3) = 2, потому что 2³ = 8, а 16^(1/2) = 4 — это привычный квадратный корень. Свойство сложения показателей видно прямо в действии: 2³ × 2² = 8 × 4 = 32, и это то же самое, что 2⁵.

Основание степени тоже бывает отрицательным. Здесь работает правило знаков: чётный показатель «съедает» минус, нечётный — сохраняет. Поэтому (−2)² = 4, а (−2)³ = −8. И не путайте: −2² = −4, потому что без скобок в квадрат возводится только двойка.

Дробный показатель может быть любым, не только единица, делённая на n: a^(m/n) — это корень n-й степени из a, возведённый в степень m. Так, 8^(2/3) = (³√8)² = 2² = 4. Порядок действий можно менять: 8² = 64, а ³√64 = 4 — ответ тот же.

Степени растут очень быстро: 2²⁰ — уже больше миллиона, а 2⁶⁴ не помещается на шахматной доске по известной легенде о зёрнах риса. Поэтому очень большие результаты калькулятор показывает в экспоненциальной записи: 1,23e+15 означает 1,23 × 10¹⁵.

Корень — это степень с дробным показателем

Квадратный корень из 25 — то же самое, что 25 в степени 1/2, а кубический корень из 8 — это 8 в степени 1/3. Поэтому все правила степеней работают и для корней. Например, корень произведения равен произведению корней: √(9·4) = √9 × √4 = 3 × 2 = 6. Это свойство помогает упрощать выражения: √50 = √(25·2) = 5√2 ≈ 7,07. Запись через степень удобна и в калькуляторе: вместо отдельной кнопки корня можно ввести дробный показатель.

Почему a⁰ равно единице

Посмотрите на цепочку: 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2. Каждый шаг вниз — деление на 2. Продолжим её по той же логике: 2⁰ = 1, 2⁻¹ = 1/2, 2⁻² = 1/4. Правило не придумано «по договору» — оно следует из свойства показателей: aⁿ / aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰, а слева число поделили само на себя и получили 1. Единственное исключение — 0⁰: это выражение считается неопределённым.

Корень из отрицательного числа

Из отрицательного числа извлекают только корни нечётной степени: ³√(−8) = −2, потому что (−2)³ = −8. А вот √(−9) среди обычных действительных чисел не существует: и 3, и −3 в квадрате дают плюс 9, минус не получить никак. Поэтому калькулятор откажется считать чётный корень из отрицательного числа — это не ошибка ввода, а закон математики. С комплексными числами, где такие корни определены, вы познакомитесь в старших классах — для школьных и бытовых расчётов они не нужны.

Для тренировки возьмите любое число, возведите его в квадрат и в куб на черновике, а затем проверьте себя калькулятором — он справляется и с очень большими показателями, и с дробями вроде 2^(2/3), и с отрицательными основаниями.

Частые вопросы