Калькулятор дробей

Как считаются действия с дробями

Обыкновенная дробь состоит из числителя и знаменателя: знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, числитель — сколько таких частей взяли. Сложение и вычитание делают через общий знаменатель, умножение — напрямую, деление — через переворот второй дроби. Готовый ответ принято сокращать.

Четыре действия с дробями подчиняются простым правилам:

• Сложение: приведите дроби к общему знаменателю и сложите числители, знаменатель оставьте общим: a/b + c/d = (a·d + c·b) / (b·d)
• Вычитание: то же самое, но числители вычитаются: a/b − c/d = (a·d − c·b) / (b·d)
• Умножение: перемножьте числители и знаменатели по отдельности: a/b × c/d = (a·c) / (b·d)
• Деление: первую дробь умножьте на перевёрнутую вторую: a/b ÷ c/d = a/b × d/c

Разберём каждое действие на числах. Сложение: 1/2 + 1/3. Общий знаменатель — 6, получаем 3/6 + 2/6 = 5/6. Вычитание: 3/4 − 1/6 = 9/12 − 2/12 = 7/12. Умножение: 2/3 × 3/5 = 6/15, после сокращения на 3 выходит 2/5. Деление: 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6.

Ещё один пример посложнее: 5/8 + 7/12. Наименьшее общее кратное знаменателей — 24. Приводим: 15/24 + 14/24 = 29/24. Числитель больше знаменателя, значит, это неправильная дробь: 29/24 = 1 целая 5/24.

Ограничение одно, но строгое: знаменатель никогда не бывает нулём. Делить на ноль нельзя, и дробь вида 5/0 просто не существует — калькулятор подсвечивает такой ввод как ошибку.

Смешанные числа перед вычислением переводят в неправильные дроби. Например, 1 целая 1/2 × 2 целых 2/3: переводим в 3/2 и 8/3, перемножаем — 24/6 = 4. Складывать смешанные числа можно и по частям — сначала целые, потом дробные, — но перевод в неправильную дробь надёжнее и меньше путает.

Разность может выйти отрицательной: 1/3 − 1/2 = 2/6 − 3/6 = −1/6. Это нормальный ответ, минус просто показывает, что вторая дробь больше первой.

Как сокращать дроби

Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель на одно и то же число. Значение дроби от этого не меняется: 6/15 = 2/5, потому что оба числа делятся на 3. Удобнее всего делить сразу на наибольший общий делитель (НОД). Например, для 42/56 НОД равен 14, и дробь схлопывается в один шаг: 42/56 = 3/4. Сокращённая дробь — тот же ответ, записанный короче, поэтому калькулятор всегда показывает результат именно в таком виде.

Смешанные числа и неправильные дроби

Если числитель больше знаменателя, дробь называют неправильной — например, 7/3. Из неё выделяют целую часть: разделите числитель на знаменатель с остатком. Здесь 7 = 3 × 2 + 1, значит, целых две, а остаток 1 уходит в числитель: 7/3 = 2 целых 1/3. Обратный перевод тоже прост: умножьте целую часть на знаменатель и прибавьте числитель — 2 целых 1/3 = (2·3 + 1)/3 = 7/3. В обоих видах число одно и то же, выбирайте запись по задаче.

Зачем нужен общий знаменатель

Складывать дроби «в лоб», числитель с числителем и знаменатель со знаменателем, нельзя: тогда 1/2 + 1/3 превратилось бы в 2/5, хотя правильный ответ 5/6 — он заметно больше. Дело в том, что складывать можно только доли одного размера: половины с половинами, трети с третями. Общий знаменатель как раз переводит обе дроби в одинаковые доли. Числа при этом получаются меньше, если брать не произведение знаменателей, а их наименьшее общее кратное (НОК): для 1/4 + 1/6 удобнее взять 12, а не 24.

Чтобы набить руку, придумайте пару дробей и посчитайте их в столбик, а потом сверьтесь с калькулятором. Он покажет и сокращённый результат, и смешанное число, если целая часть выделяется.

Частые вопросы